Darcy Yasası

Darcy yasası, bir basınç gradyanı altında gözenekli bir ortamdan geçen akışkanların laminer akışını tanımlayan ampirik bir denklemdir; birim kesit alanı başına hacimsel akış hızının (spesifik deşarj) hidrolik gradyan ve ortamın hidrolik iletkenliği ile doğru orantılı olduğunu belirtir.^[1] Yasa matematiksel olarak q = -K (dh/dl) şeklinde ifade edilir; burada q spesifik deşarj, K hidrolik iletkenlik, h hidrolik yük ve l akış yolu uzunluğudur; negatif işaret, akışın yüksek yükten düşük yüke doğru olduğunu gösterir.^[2]

1856 yılında Fransız mühendis Henry Darcy tarafından Dijon’daki su filtrasyon sistemleri üzerine yapılan deneyler sırasında formüle edilen yasa, dikey kum kolonlarından geçen kararlı durum akışı gözlemlerinden doğmuştur; burada deşarj, yük farkı ve kolon geometrisinin bir fonksiyonu olarak ölçülmüştür.^[1] Darcy’nin Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon (Dijon Şehrinin Kamu Çeşmeleri) raporunun bir ekinde detaylandırılan çalışması, Poiseuille yasası gibi daha önceki laminer akış ilkeleri üzerine inşa edilmiş, ancak bunları zeminler ve tortular gibi heterojen gözenekli malzemelere uyarlamıştır.^[3]

Hidrolik yük (h), akışı yönlendiren toplam enerji potansiyelini temsil etmek için yükseklik yükü ve basınç yükünü birleştirirken, hidrolik iletkenlik (K), hem gözenekli malzemenin içsel geçirgenliğine hem de akışkanın viskozite ve yoğunluk gibi özelliklerine bağlı olarak ortamın akışkanı iletme yeteneğini nicelleştirir.^[1] Yasa, doygun koşulları, laminer akış için düşük Reynolds sayılarını (genellikle Re < 1–10) ve doğrusal orantılılığı varsayar, ancak heterojen veya anizotropik ortamlarda sapmalar gösterebilir.

Hidrojeoloji, toprak bilimi ve petrol mühendisliği alanlarında yaygın olarak uygulanan Darcy yasası, akiferlerdeki yeraltı suyu hareketini, kirletici taşınımını ve rezervuar simülasyonunu modellemenin temelini oluşturarak akış hızlarının ve kuyu verimlerinin tahmin edilmesini sağlar.^[4] Buckingham-Darcy yasası gibi genişletmeler, hidrolik yükü matrik potansiyel ile değiştirerek doymamış koşulları dahil eder ve kullanımını vadoz bölge hidrolojisine genişletir.^[5]

Tarihsel Arka Plan

Henry Darcy’nin Deneyleri

1855 ve 1856 yıllarında Fransız mühendis Henry Darcy, Fransa’nın Dijon kenti için iyileştirilmiş bir kamu suyu temini ve filtrasyon sistemi tasarlama çabalarının bir parçası olarak, yerel kaynaklardan gelen suyun kalitesi ve dağıtımı konusundaki endişeleri ele alan bir dizi deney yürütmüştür.^[6] Bu çalışmalar, Darcy’nin 1840’lardan beri şehrin altyapısı üzerine yaptığı önceki çalışmaların üzerine inşa edilerek, kum yatakları üzerinden filtrasyon verimliliğini değerlendirme ihtiyacıyla motive edilmiştir.^[7] Sonuçlar, belediye su sistemleri için pratik mühendislik uygulamalarını detaylandıran kapsamlı 1856 raporu Les fontaines publiques de la ville de Dijon‘un bir ekinde yayınlanmıştır.

Darcy’nin deney düzeneği, gözenekli filtrasyon ortamını simüle etmek için tipik olarak metal veya camdan yapılmış ve tekdüze kumla paketlenmiş dikey bir kolon içeriyordu.^[8] Sabit bir giriş yükünü korumak için tepedeki yükseltilmiş bir rezervuardan su verilirken, alttaki çıkış yerçekimi kaynaklı akış altında deşarjın ölçülmesine izin veriyordu. En önemlisi, kum boyunca hidrolik yük farkını ölçmek için girişe ve çıkışa cıvalı manometreler yerleştirilmişti.^[9] Darcy, tutarlı koşulları sağlamak için sıcaklığı kontrol ederken kum tanecik boyutu, kolon boyutları ve uygulanan yük farkları gibi faktörleri değiştirdi.^[10]

Deneyler, sabit sıcaklıkta gözenekli ortam boyunca akış hızı ile basınç düşüşü arasında tutarlı bir doğrusal ilişki olduğunu ve bu orantılılığın ötesinde akış hızına bağlı olmadığını ortaya koydu.^[8] Özellikle Darcy, hidrolik yükteki farklar olarak ölçülen daha yüksek basınç gradyanlarının orantılı olarak daha büyük hacimsel akış hızları ürettiğini, akışın kolonun kesit alanıyla ölçeklendiğini ve artan uzunlukla azaldığını kaydetti. Bu gözlemler farklı kum dolgularında da geçerliliğini koruyarak doymuş gözenekli ortamlarda laminer akışın temel davranışını oluşturdu.^[6]

Bu bulgulara dayanarak Darcy, akışı hidrolik gradyanla ilişkilendiren ilk ampirik denklemi önerdi:

$$ Q = k A \frac{(h_1 – h_2)}{L} $$

Burada Q hacimsel akış hızını, k hidrolik iletkenliği temsil eden malzemeye özgü bir sabiti, A kolonun kesit alanını, h₁ ve h₂ sırasıyla giriş ve çıkış uçlarındaki hidrolik yükleri ve L akış yolunun uzunluğunu belirtir. Doğrudan deneysel verilerden türetilen bu formülasyon, kum filtrelerindeki akışa karşı direnci nicelleştirdi ve mühendislik tasarımları için pratik bir araç sağladı.^[8]

Gelişim ve İlk Uygulamalar

Henry Darcy, gözenekli ortamlardan sıvı akışı konusundaki ampirik bulgularını 1856 tarihli kitabının ekinde sundu ve ilişkiye resmi olarak kendi adını vermeden kum kolonlarından süzülen su üzerine yaptığı deneyleri detaylandırdı.^[11] Çalışma, Dijon’un belediye su temini sistemini iyileştirmedeki pratik ihtiyaçlarla motive edildi ve akış hızı, hidrolik gradyan ve ortam özellikleri arasındaki orantısal ilişkiyi vurguladı.^[12]

Yayınlanmasından kısa bir süre sonra Fransız mühendis Jules Dupuit, 1857’de serbest akiferlerdeki yeraltı suyu akışı analizinde Darcy’nin ampirik kuralını benimsedi, bunu kuyulara doğru radyal akışı modellemek için uyguladı ve önceki akışkanlar mekaniği ve jeoloji bilgisiyle entegre etti.^[13] Bu erken benimseme, Darcy’nin bulgularının bir mühendislik gözleminden gözenekli ortam akışında temel bir ilkeye geçişinin başlangıcını işaret etti ve yeraltı suyu hareketini tahmin etmek için ölçülebilir bir temel sağlayarak 19. yüzyıl hidrolik mühendisliğini etkiledi.^[14]

İlk uygulamalardan biri, kentsel su arıtımı için büyük ölçekli kum filtrelerinin tasarımıydı; Darcy, yerçekimi kaynaklı akış yoluyla etkili filtrasyon sağlarken Dijon’un günlük su gereksinimlerini karşılayabilecek filtre yataklarını optimize etmek için sonuçlarını kullandı.^[12] Katmanlı kum ve çakılla inşa edilen bu filtreler, yasanın doğrudan bir mühendislik sonucunu temsil ederek 19. yüzyılın ortalarında Avrupa şehirlerinde halk sağlığı altyapısını geliştirdi.

Temel İlkeler

Fiziksel Yorum

Darcy yasası kavramsal olarak, gözenekli bir ortamdan sıvı akışını, tıpkı Ohm yasasındaki elektrik akımının voltaj farkı tarafından sürülüp dirençle sınırlanması gibi, hidrolik yük farkıyla doğru orantılı ve ortamın dayattığı dirençle ters orantılı olarak tanımlar.^[1] Bu orantılılık, sıvı hareketinin bir potansiyel gradyanından kaynaklandığını vurgular; burada daha yüksek yük farkları akışı hızlandırır, bu da Fourier’in iletim yasasındaki sıcaklık gradyanının ısı akısını sürmesine benzer.^[15] Özünde yasa, basınç veya yerçekimi potansiyelinin itici gücünün, ortamın boşluk alanlarındaki sürtünme kayıplarını yenmesini ifade eder.

Hidrolik iletkenlik, sıvının belirli bir basınç gradyanı altında birbirine bağlı gözeneklerden geçme kolaylığını nicelleştirir ve bu hem gözenekli malzemenin içsel geçirgenliğine hem de sıvının viskozite ve yoğunluk gibi özelliklerine bağlıdır.^[16] Temiz kumlar gibi yüksek hidrolik iletkenliğe sahip malzemeler, direnci en aza indiren daha büyük veya daha bağlantılı gözenek ağlarını yansıtarak, düşük hidrolik iletkenliğe sahip killere kıyasla aynı yük farkı için daha büyük akış hızlarına izin verir. Bu parametre böylece ortamın akışkana iletkenliğinin bir ölçüsü olarak hareket eder ve uygulanan gradyana genel akış tepkisini ölçeklendirir.

Görsel olarak, gözenekli bir ortamdaki sıvı, birbirine bağlı boşluklardan oluşan bir ağ boyunca dolambaçlı yolları izler; burada efektif hız, doğrusal yer değiştirmeye kıyasla uzamış, kıvrımlı rotalar nedeniyle azalır.^[17] Yerçekimi veya uygulanan basınç etkisi altında sıvı, bu kanallara laminer bir şekilde yavaşça nüfuz eder ve akış hızı, doğrudan seyahatten sapmayı nicelleştiren yol dolambaçlılığı (tortuosity) derecesiyle ters orantılıdır.^[18] Bu, mikroskobik zikzaklara rağmen makroskopik ölçekte tekdüze görünen bir toplu hareketle sonuçlanır.

Temel Varsayımlar ve Ön Koşullar

Darcy yasası, gözenekli ortamdan geçen hacimsel akış hızının zamanla sabit kaldığı ve sistemde zamansal varyasyonların olmadığı kararlı durum akışı varsayımına dayanır. Bu koşul, akışı yönlendiren hidrolik gradyanın değişmemesini sağlayarak basınç farkı ile akış hızı arasında kararlı bir ilişkiye izin verir. Bunu tamamlayıcı olarak akış, gözenekler içindeki sıvı katmanlarının düzenli, türbülanssız hareketiyle karakterize edilen laminer olmalıdır. Laminer koşullar genellikle, sıvı yoğunluğu, arayer hızı ve karakteristik bir gözenek uzunluk ölçeğinin çarpımının dinamik viskoziteye bölünmesiyle hesaplanan Reynolds sayısı (Re) yaklaşık 1 ila 10’dan az olduğunda sağlanır; bu aralığı aşan değerler, yasanın merkezindeki doğrusal orantılılığı geçersiz kılan eylemsizlik etkilerini ortaya çıkarır.^[16]

İlgili sıvının sıkıştırılamaz olduğu, uygulanan basınçlar altında değişmeyen sabit yoğunluklu olduğu ve viskozitesi aracılığıyla kayma gerilimi ile deformasyon hızı arasında doğrusal bir ilişki sergileyen Newtoniyen bir sıvı olduğu varsayılır. Bu özellikler, gözeneklerdeki momentum dengesini basitleştirerek yasanın, yoğunluk dalgalanmalarını veya doğrusal olmayan reolojik davranışları hesaba katmadan temel ilkelerden türetilmesini sağlar. Ayrıca gözenekli ortam tamamen doymuş olmalı (tüm boşluklar tek fazlı sıvı tarafından işgal edilmeli) ve izotropik olmalıdır (akış tahmininde yönsel sapmaları önlemek için hidrolik iletkenlik her yönde aynı olmalıdır).^[19]^[20]

Yasa ayrıca, çoklu eşzamanlı gradyanlardan kaynaklanan etkileşimlerin sonucu değiştirmediği, akış tepkisinin uygulanan hidrolik yük farkıyla doğrudan orantılı olduğu basınç gradyanlarının doğrusal süperpozisyonunu varsayar. Ek olarak, sıvı ile katı matris arasında kimyasal reaksiyonlara veya ortam boyunca önemli sıcaklık değişimlerine izin verilmez, çünkü bunlar viskoziteyi, yoğunluğu veya hidrolik iletkenliği değiştirerek varsayılan sabitliği bozabilir.^[19]^[21]

Darcy yasasını etkili bir şekilde uygulamak, akışa karşı dirençte viskozitenin ve itici güç olarak basınç gradyanlarının rolleri dahil olmak üzere akışkanlar mekaniğindeki temel kavramlara aşinalık gerektirir. Aynı derecede önemli olan, sıvı depolaması için mevcut boşluk alanının oranı olan gözeneklilik ile ortamın belirli bir gradyan altında sıvıyı iletme yeteneğini nicelleştiren hidrolik iletkenlik arasındaki ayrım gibi gözenekli ortam özelliklerinin anlaşılmasıdır.^[19]

Matematiksel Formülasyon

İntegral Form

Darcy yasasının integral formu, kararlı durum koşulları altında doymuş gözenekli bir ortamdan geçen toplam hacimsel akış hızı için, tüm akış yolu boyunca genel itici güce dayalı ampirik bir ilişki sağlar. Bu makroskopik formülasyon, Henry Darcy‘nin 1856’da dikey kum dolgulu kolonlarla yaptığı deneylerden kaynaklanmıştır; burada akış hızının giriş ve çıkış arasındaki hidrolik yük farkıyla doğru orantılı olduğunu gözlemlemiştir.^[9]

Basınç cinsinden standart denklem şöyledir:

$$ Q = -\frac{k A}{\mu} \frac{\Delta P}{L}, $$

Burada Q hacimsel akış hızı (m³/s), k gözenekli ortamın içsel geçirgenliği (m²), A akışa dik kesit alanı (m²), μ sıvının dinamik viskozitesi (Pa·s), ΔP akış yolu boyunca basınç düşüşü (Pa) ve L akış yolunun uzunluğudur (m). Negatif işaret, basınç gradyanına zıt akış yönünü gösterir. Bu form, ortamın geçirgenliğinin sıvı özelliklerinden bağımsız rolünü vurgular.

Eşdeğer olarak yasa, hem basınç hem de yerçekimi etkilerini hesaba katmak için sıklıkla hidrolik yük kullanılarak ifade edilir:

$$ Q = -K A \frac{\Delta h}{L}, $$

Burada Δh hidrolik yük farkı (m) ve K hidrolik iletkenliktir (m/s). K, sıvı yoğunluğu (ρ) ve yerçekimi ivmesi (g) ile ilişkili olarak K = kρg/μ şeklinde tanımlanır. Bir noktadaki hidrolik yük h = P/(ρg) + z ile verilir; bu, basınç yükü P/(ρg) ile yükseklik yükünü (z) birleştirerek sıvı basıncını ve yükseklikten kaynaklanan potansiyel enerjiyi ilişkilendirir.^[12]

Darcy’nin türetimi, kontrollü yük farkları altında değişen kum boyutlarındaki kolonlarda kararlı akış hızlarının ölçülmesini, Q’ya karşı Δh grafiğinin çizilmesini ve A/L ile orantılı eğime sahip ve malzeme sabiti K olan orijinden geçen düz bir çizgi elde edilmesini içeriyordu. Bu doğrusallık, K’nın belirli bir ortam ve sıvı için test edilen aralıktaki yük gradyanı büyüklüğünden bağımsız olarak sabit kaldığı orantısal ilişkiyi doğruladı. Boyutsal analiz tutarlılığı doğrular: K’nın birimleri (m/s), alan (m²) ve boyutsuz gradyan Δh/L ile çarpıldığında Q’nun m³/s ile eşleşmesini sağlar. ABD geleneksel sistemi gibi saha birimlerinde K genellikle ft/gün veya gal/(ft²·gün) cinsindendir, ancak SI birimleri bilimsel uygulamalarda tekdüzeliği teşvik eder.^[22]

Diferansiyel Form

Darcy yasasının diferansiyel formu, gözenekli bir ortam içindeki yerel bir noktada sıvı akısı ile itici güç arasındaki ilişkiyi ifade eder ve akış simülasyonu için süreklilik ölçeğindeki matematiksel modellerde kullanımına olanak tanır. Bu formülasyonda, spesifik deşarj olarak da bilinen Darcy hızı v, akış yönüne dik birim kesit alanı başına hacimsel akış hızını temsil eder. Yerçekimi etkilerinin ihmal edilebilir olduğu veya ayrı olarak hesaba katıldığı izotropik ortamlar için Darcy yasası, Darcy hızının sıvı basıncı P’nin negatif gradyanı ile doğrusal olarak orantılı olduğunu belirtir; orantı sabiti ortamın içsel geçirgenliği k ve sıvının dinamik viskozitesi μ’yü içerir:

$$ \mathbf{v} = -\frac{k}{\mu} \nabla P $$

Mikroskobik akış değerlendirmelerinden bir süreklilik yaklaşımı olarak türetilen bu denklem, sıvıyı gözenek ağı boyunca iten basınç farklılıklarından kaynaklanan yerel itici gücü yakalar.^[17]

Geçirgenliğin gözenek yapısı veya tabakalaşma nedeniyle yönsel olarak değiştiği anizotropik gözenekli ortamlar için ilişki bir tensör formuna genelleşir. Burada içsel geçirgenlik ikinci dereceden bir tensör k_ij ile temsil edilir ve Darcy hız bileşenleri v_i, basınç gradyanı bileşenleri ∂P/∂x_j ile şu şekilde ilişkilidir:

$$ v_i = -\frac{k_{ij}}{\mu} \frac{\partial P}{\partial x_j} $$

Bu vektör notasyonu, tekrarlanan indisler j (Einstein kuralı) üzerinden toplama yapıldığını ima ederek yönsel bağımlılıkları hesaba katar ve temel geçirgenlik eksenlerinin koordinat yönleriyle hizalanmayabileceği tabakalı veya çatlaklı formasyonlardaki akışları modellemek için uygun hale getirir. Tensör k_ij simetrik ve pozitif tanımlıdır, bu da basınç gradyanına zıt fiziksel olarak gerçekçi akış yönleri sağlar.^[17]

Kararlı durum koşulları altında sıkıştırılamaz sıvılar için süreklilik denklemi ∇⋅v = 0 ile birleştirildiğinde, diferansiyel form basınç veya hidrolik yük dağılımı için yönetici denklemi verir. İzotropik Darcy ifadesinin yerine konulması ∇⋅((k/μ)∇P) = 0 verir; sabit k ve μ için bu, Laplace denklemi ∇²P = 0’a sadeleşir. Hidrolik yük h cinsinden (hidrostatik koşullar için ∇h = (1/ρg)∇P, burada ρ sıvı yoğunluğu ve g yerçekimidir), izotropik durum ∇²h = 0 olur ve bu da basınçlı akiferler gibi tekdüze ortamlar için analitik çözümleri kolaylaştırır.^[23]

Diferansiyel formun iki nokta arasındaki bir akış çizgisi veya yol uzunluğu L boyunca entegre edilmesi, sabit katsayılar varsayılarak, yerel gradyanları A alanı boyunca makroskopik deşarj Q’ya bağlayan integral formu Q = -(kA/μ)(ΔP/L) geri kazandırır. Bu bağlantı, diferansiyel versiyonun, temel orantılılığı değiştirmeden daha geniş akış analizleri için temel yapı taşı olma rolünü vurgular.^[22]

Genişletmeler ve Varyasyonlar

Doğrusal Olmayan Genişletmeler

Darcy yasası, basınç gradyanı ile akış hızı arasında doğrusal bir ilişki olduğunu varsayarken, daha yüksek akış hızları gözlemleri atalet etkileri nedeniyle sapmalar ortaya çıkardı ve doğrusal olmayan davranışı yakalamak için genişletmeleri teşvik etti. 1901’de Philipp Forchheimer, gözenekli ortam akışındaki bu atalet kayıplarını hesaba katmak için ampirik bir modifikasyon önerdi.^[24]

Forchheimer denklemi, doğrusal Darcy formunu karesel bir hız terimi ekleyerek genişletir:

$$ -\nabla P = \frac{\mu}{k} \mathbf{v} + \beta \rho |\mathbf{v}| \mathbf{v} $$

^[25]

Burada μ sıvı dinamik viskozitesi, k geçirgenlik, v Darcy hızı, ρ sıvı yoğunluğu ve β atalet direncini temsil eden Darcy dışı (veya Forchheimer) katsayısıdır. Bu karesel terim, form sürüklemesi ve gözenek ölçeğindeki türbülans benzeri etkilerden kaynaklanır ve düşük hızlar için Darcy’nin doğrusal rejiminin üzerine inşa edilir.^[26]

Bu doğrusal olmayan genişletme, özellikle atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere baskın olduğu çakıllar veya çatlaklı kayalar gibi kaba taneli ortamlarda Re > 10 olan Reynolds sayıları için geçerli hale gelir. Katsayı β, geçirgenlik ölçerlerde deneysel verilere uydurularak değişen akış hızlarında basınç düşüşü ölçümleri yoluyla ampirik olarak belirlenir ve ortamın geometrisine ve gözenekliliğine özgü atalet katkılarını nicelleştirir.^[27]

Hızlı yeraltı suyu çekimi veya yüksek oranlı petrol üretimi gibi yüksek akışlı senaryolarda, Forchheimer denklemi Darcy yasasının basınç düşüşlerini olduğundan az tahmin etmesini düzelterek akış direncinin daha doğru modellenmesini sağlar.^[24]

Özel Koşullar İçin Düzeltmeler

Darcy yasası gözenekli ortamlardaki birçok sıvı akışı için etkili bir açıklama sağlarken, özellikle düşük basınçlarda ve ince gözeneklerde kayma akışının meydana geldiği belirli koşullar altında gazlar için ayarlamalar gereklidir. Klinkenberg etkisi, gözenek duvarlarında sıfır olmayan hız nedeniyle gazlar için sıvı geçirgenliğini aşan bir görünür geçirgenlik sunarak bunu hesaba katar. Düzeltilmiş form şöyledir:

$$ k_g = k_l \left(1 + \frac{b}{P}\right), $$

Burada k_g gaz görünür geçirgenliği, k_l mutlak (sıvı) geçirgenlik, P ortalama gözenek basıncı ve b, ortama ve gaz özelliklerine bağlı ampirik bir sabittir.^[28] Kumtaşı karotları üzerindeki deneysel gözlemlerden türetilen bu düzeltme, geleneksel Darcy yasasının taşınımı olduğundan az tahmin ettiği düşük geçirgenlikli rezervuarlarda gaz akış hızlarının doğru tahmin edilmesini sağlar.^[28]

Gaz ortalama serbest yolunun gözenek çapına oranı olarak tanımlanan Knudsen sayısının Kn > 10 olduğu moleküler difüzyonun baskın olduğu rejimlerde, Darcy yasası serbest moleküler akışı yakalamak için Knudsen difüzyonunu dahil etmelidir. Burada gaz molekülleri birbirleriyle olduğundan daha sık gözenek duvarlarıyla çarpışarak viskoz mekanizmaların ötesinde gelişmiş taşınmaya yol açar. Yaygın bir düzeltme, gözenekli matrisi gazla birleşik viskoz akış, sıradan difüzyon ve Knudsen difüzyon terimleri aracılığıyla etkileşen “tozlu” parçacıklar olarak ele alan Tozlu Gaz Modelini kullanır. Bu model, difüzif akıları ekleyerek Darcy yasasını genişletir ve şeyl gibi sıkı ortamlarda çok bileşenli gaz karışımları için fenomenolojik bir çerçeve sağlar; burada tek mekanizmalı yaklaşımlara kıyasla geçirgenlik ve difüzyon katsayılarının tahminlerini iyileştirir.

Kuyu testleri sırasındaki gibi kısa zaman ölçekli geçici akışlar için, standart kararlı durum Darcy yasası depolama etkilerini içerecek şekilde değiştirilir ve bu da kararsız bir varyantla sonuçlanır. Bu, hidrolik yük h için bir zaman türevi terimi içerir ve yeraltı suyu akış denklemini verir:

$$ S \frac{\partial h}{\partial t} = \nabla \cdot (K \nabla h), $$

Burada S depolama katsayısı ve K hidrolik iletkenliktir. Bu form, Darcy yasasının süreklilik denklemi ile birleştirilmesinden kaynaklanır ve basınçlı akiferlerde sıkıştırma veya su boşaltma nedeniyle sıvı hacmindeki zamansal değişiklikleri hesaba katar. Özellikle pompalama testlerinden elde edilen düşüm verilerinin analizinde uygulanır ve iletim kapasitesi (transmissivite) gibi akifer özelliklerinin tahmin edilmesini sağlar.

Gömülü parçacıklar veya lifler içerenler gibi yüksek gözenekliliğe sahip ortamlarda veya kompozit yapılarda, viskoz kayma etkileri önemli hale gelir ve Darcy yasasına bir düzeltme olarak Brinkman denklemini gerektirir. 1947’de önerilen bu denklem, momentum difüzyonunu temsil etmek için bir Laplace terimi ekler:

$$ \mathbf{v} = -\frac{k}{\mu} \nabla P + k \nabla^2 \mathbf{v}, $$

Burada v Darcy hızı, k geçirgenlik ve μ dinamik viskozitedir. Bu genişletme, serbest sıvı Navier-Stokes denklemleri ile Darcy yasası arasındaki boşluğu doldurarak, sınır tabakalarının hız profilini etkilediği lifli veya partiküllü ortamlardaki akışlar için doğruluğu artırır.^[29] Filtrasyon ve katalizör yataklarının modellenmesinde yaygın olarak kullanılır; burada Brinkman terimi, yüksek geçirgenlik bölgelerinde ihmal edilemeyecek viskoz kuvvetleri düzeltir.^[29]

Uygulamalar

Hidrojeoloji ve Yeraltı Suyu Akışı

Hidrojeolojide Darcy yasası, akiferlerdeki gözenekli ortamlardan yeraltı suyu akışını nicelleştirmek için temel ilke olarak hizmet eder ve doygun koşullar altında su hareketinin tahmin edilmesini sağlar. Hacimsel akıyı hidrolik gradyan ve ortam özellikleriyle ilişkilendirerek yeraltı hidrolojisinin hem analitik hem de sayısal modellerinin temelini oluşturur. Bu uygulama, su kaynaklarını yönetmek, akifer sürdürülebilirliğini değerlendirmek ve yeraltı suyu sistemlerindeki çevresel etkileri değerlendirmek için çok önemlidir.^[1]^[30]

Darcy yasasının kütle korunumu ilkesiyle birleştirilmesiyle türetilen geçici yeraltı suyu akış denklemi, basınçlı akiferlerdeki kararsız akışı yönetir ve şu şekilde ifade edilir:

$$ K \nabla^2 h = S_s \frac{\partial h}{\partial t}, $$

Burada K hidrolik iletkenliği (m/s), h hidrolik yükü (m), S_s özgül depolamayı (1/m), ∇² Laplace operatörünü ve t zamanı (s) temsil eder. Bu denklem, izotropik ve homojen koşulları varsayar ve Darcy yasası akı terimini q = -K∇h sağlar. Kararlı durum senaryoları için zaman türevi yok olur ve Laplace denklemi ∇²h = 0’a sadeleşir. Bu formülasyonlar, hidrojeologların beslenme, deşarj veya sınır değişikliklerine yanıt olarak yük dağılımını ve akış hızlarını modellemelerine olanak tanır.^[31]

Önemli bir uygulama, Darcy yasasının basınçlı akiferlerdeki geçici düşüm için Theis çözümünün temelini oluşturduğu akifer pompalama testlerini içerir. 1935’te Theis tarafından geliştirilen bu analitik model, sonsuz, homojen bir akiferde Darcy yasası tarafından yönetilen radyal, yatay akışı varsayar ve şu düşümü verir:

$$ s(r,t) = \frac{Q}{4\pi T} W(u) $$

Burada u = (r² S) / (4 T t), Q pompalama hızı (m³/s), T = Kb iletim kapasitesi (transmissivite – m²/s), S = S_s b depolama katsayısı (boyutsuz), r radyal mesafe (m), t zaman (s) ve W(u) kuyu fonksiyonudur. Bu çözümü kullanan pompalama testleri, gözlemlenen düşüm verilerinden T ve S’yi tahmin ederek su temini yönetimi için akifer karakterizasyonunu bilgilendirir.^[32]^[33]

Kirletici taşınımında Darcy yasası, gözeneklilik ϕ olmak üzere v = q/ϕ = -(K/ϕ)∇h advektif hızını belirler; bu hız, akifer boyunca çözünen maddelerin toplu hareketini yönlendirir. Bu hız, adveksiyon-dispersiyon denkleminde hidrodinamik dispersiyonla birleşerek kirlilik yayılımını (plume) tahmin eder: ∂C/∂t = ∇⋅(D∇C) – v⋅∇C, burada C kirletici konsantrasyonu ve D dispersiyon tensörüdür. Bu tür modelleme, yeraltı suyu kirliliği senaryolarında risk bölgelerinin belirlenmesi ve iyileştirme stratejilerinin tasarlanması için esastır.^[34]^[35]

Tarihsel olarak Dupuit-Forchheimer varsayımları, akışı tamamen yatay ve tek boyutlu olarak yaklaştırarak, dikey hız bileşenlerini ihmal ederek ve hidrolik gradyanın serbest yüzeyin eğimine eşit olduğunu varsayarak Darcy yasasını serbest akiferlere genişletmiştir. 1863’te Dupuit tarafından tanıtılan ve 1888’de Forchheimer tarafından geliştirilen bu basitleştirmeler, yönetici denklemi bir kuyuya kararlı radyal akış için d/dr(rKh dh/dr) = 0’a indirger; burada h doygun kalınlık ve r radyal mesafedir. Bu yaklaşım, su tablası yakınındaki akışı olduğundan fazla tahmin etmesine rağmen, freatik koşullarda sızma ve kuyu hidroliği için erken analitik çözümleri kolaylaştırmıştır.^[36]^[37]

Modern uygulamada, USGS tarafından geliştirilen MODFLOW gibi sayısal modeller, karmaşık akifer sistemlerindeki geçici yükleri ve akıları simüle ederek bölgesel ölçeklerde yeraltı suyu akış denklemini ayrıklaştırmak ve çözmek için Darcy yasasını uygular. MODFLOW, Darcy yasasının geçerli olduğu doygun akışı varsayar ve pompalama, beslenme veya iklim değişkenliğine tepkileri tahmin etmek için sonlu fark yöntemleri aracılığıyla heterojenliği, anizotropiyi ve sınırları dahil eder. Havza çapındaki değerlendirmeler için yaygın olarak kullanılan bu model, yeraltı suyu çekimi ve korunması konusundaki politika kararlarını destekler.^[30]^[38]

Petrol Mühendisliğinde

Petrol mühendisliğinde Darcy yasası, hidrokarbon rezervuarlarından sıvı taşınımının modellenmesini destekleyerek üretim oranlarının, kurtarım faktörlerinin ve optimum geliştirme stratejilerinin tahmin edilmesini kolaylaştırır. Petrol, doğal gaz ve enjekte edilen su gibi sıvıların, çoğu rezervuar ortamının tipik özelliği olan laminer akış koşullarını varsayarak gözenekli kayaç formasyonlarındaki basınç gradyanları tarafından yönlendirilen hacimsel akış hızını nicelleştirir. Bu yasa, jeolojik verileri akışkanlar mekaniğiyle entegre ederek zaman içinde rezervuar davranışını simüle etmek, mühendislerin nihai kurtarımı tahmin etmelerini ve çıkarma operasyonlarını verimli bir şekilde tasarlamalarını sağlamak için gereklidir.^[39]

Petrol bağlamında Darcy yasasının kritik bir uzantısı, hidrokarbonların su ve gazla bir arada bulunduğu çok fazlı akışı ele alır. Bağıl geçirgenlik, her bir faz için mutlak geçirgenliği k boyutsuz bir faktörle k_r (0 ile 1 arasında değişen) ölçeklendirerek yasayı değiştirir ve o faz için efektif geçirgenliği k_eff = k ⋅ k_r verir. Petrol, su ve gaz fazları için k_ro, k_rw ve k_rg her bir fazın doygunluğuna bağlıdır ve hareketsiz sıvıların hareketli fazın akışını nasıl engellediğini yakalayarak deneysel olarak belirlenir. 1936’da Wyckoff ve Botset tarafından kumlardaki gaz-sıvı karışımları üzerine yapılan çalışmalarında tanıtılan bu kavram, Darcy yasasının tek fazlı hakimiyet varsaymadan çoklu fazların eşzamanlı akışını modellemesine izin verir.

Buckley-Leverett denklemi, bu çok fazlı uygulamayı örnekler ve doğrusal akış sistemlerinde su gibi karışmaz bir sıvı tarafından petrolün tek boyutlu yer değiştirmesini tanımlar. Darcy yasası ve kütle korunumundan türetilen bu denklem, yer değiştirme cephesinin önündeki doygunluk profilini tahmin etmek için su kesri akış fonksiyonunu kullanır:

$$ f_w = \frac{1}{1 + \frac{k_{ro}/\mu_o}{k_{rw}/\mu_w}} $$

Burada μ_o ve μ_w petrol ve su viskoziteleridir. Denklem, toplam hız u olmak üzere ∂S_w/∂t + ∂/∂x(u f_w) = 0 formunu alır ve su basmasında şok cephelerini ve viskoz parmaklanma risklerini vurgular. 1942’de Buckley ve Leverett tarafından geliştirilen bu çerçeve, ilk tarama için ihmal edilebilir kılcal ve yerçekimi etkilerini varsayarak taşkın deseni tasarımını ve atılım tahminlerini bilgilendirir.^[40]

Üretim kuyuları etrafındaki radyal akış için Darcy yasası, kararlı durum koşulları altında silindirik geometriye uyarlanarak üretim hızı denklemini sağlar:

$$ q = \frac{2 \pi k h (P_e – P_w)}{\mu \ln(r_e / r_w)} $$

Burada q akış hızı, h rezervuar kalınlığı, P_e ve P_w dış sınır ve kuyu dibi basınçları, μ sıvı viskozitesi ve r_e, r_w dış drenaj ve kuyu dibi yarıçaplarıdır. Radyal koordinatlarda diferansiyel Darcy denklemi v = -(k/μ)∇P’nin entegre edilmesiyle türetilen bu form, verimlilik indeksini J = q / (P_e – P_w) hesaplar ve formasyon hasarını veya ‘skin’ faktörünü tahmin etmek için kuyu testi analizini destekler. Sıkıştırılamaz, tek fazlı akışı varsayar ancak sahte basınç (pseudopressure) formülasyonlarında bağıl geçirgenlik yoluyla çok fazlı akışa genişletilir.^[41]

Darcy yasası, kontrollü koşullar altında geçirgenliği ölçmek için çıkarılan kaya örneklerine sıvının enjekte edildiği karot analizi yoluyla rezervuar karakterizasyonunda çok önemli bir rol oynar. Yasayı karotlardan geçen kararlı durum akışına uygulayarak mühendisler mutlak ve bağıl geçirgenlikleri nicelleştirir, heterojenlik haritalarını bilgilendirir ve saha ölçeğine yükseltir. Bu ölçümler, tekrarlanabilirliği sağlamak ve rezervuar koşullarını taklit etmek için örtü tabakası stresi gibi faktörleri hesaba katmak üzere API Tavsiye Edilen Uygulama 40 gibi standartlaştırılmış protokolleri izler.^[42]

Gelişmiş petrol kurtarımı (EOR) tasarımında Darcy yasası, birincil ve ikincil kurtarımın ötesinde süpürme verimliliğini artırmak için polimer taşkını veya CO₂ enjeksiyonu gibi çok fazlı yer değiştirmeleri simüle ederek enjeksiyon stratejilerinin değerlendirilmesine rehberlik eder. Bağıl geçirgenlik eğrileri, hareketlilik oranlarını ve kalıntı doygunlukları tahmin ederek, parmaklanmayı en aza indirmek ve petrol yer değiştirmesini en üst düzeye çıkarmak için enjekte edilen viskozitenin optimize edilmesine yardımcı olur. Örneğin kimyasal EOR’de yasa, yüzey aktif maddelerin arayüzey gerilimini nasıl değiştirdiğini, uygun akış yollarını korurken mikroskobik verimliliği nasıl artırdığını değerlendirir.^[39]

Endüstri standardı rezervuar simülasyonları, petrol ve gazı çözelti gazı ile sözde bileşenler olarak ele alan ve birleşik akış denklemlerini çözmek için faza özgü bağıl geçirgenlikleri kullanan “black oil” modelleri içinde Darcy yasasına dayanır. Bu modeller, sonlu fark yöntemleri aracılığıyla sayısal çözümlere olanak tanıyan üç fazlı (petrol, su, gaz) taşıma için yasanın diferansiyel formunu içerir. Tarihçe eşleştirme (history matching), simüle edilen ve gözlemlenen üretim verileri arasındaki farkları en aza indirerek model parametrelerini iyileştirir, geçirgenlik dağılımlarını doğrular ve rezervleri nicelleştirilmiş belirsizlikle tahmin eder. Erken “black oil” formülasyonlarında resmileştirilen bu yaklaşım, saha geliştirme planlamasındaki ekonomik fizibilite değerlendirmeleri için bir temel taşı olmaya devam etmektedir.^[43]

Diğer Mühendislik Bağlamlarında

Darcy yasası, sıcak suyun öğütülmüş kahve çekirdeklerinden oluşan sıkıştırılmış bir yataktan akışının gözenekli bir ortamdan sızma olarak modellendiği kahve demlemede uygulama alanı bulur. Öğütme boyutu ve paketleme yoğunluğundan etkilenen kahve yatağının geçirgenliği, ekstraksiyon verimliliğini ve demleme süresini doğrudan etkiler; daha ince öğütmeler geçirgenliği azaltarak pour-over gibi yöntemlerde daha iyi aroma ekstraksiyonu için temas süresini artırırken, daha kalın öğütmeler daldırma (immersion) demleme için uygun daha hızlı akışa izin verir. Espresso hazırlamada, daha yüksek basınç gradyanları (tipik olarak 9 bar), daha ince ve daha dirençli yataktan akışı hızlandırır, ancak atalet etkileri nedeniyle yüksek hızlarda Darcy’nin doğrusal rejiminden sapmalar meydana gelir ve bu da tekdüze ekstraksiyon için optimizasyonları gerektirir.^[44]

Zemin mekaniğinde Darcy yasası, inşaat mühendisliği projeleri için sızma analizini, özellikle yük altındaki doygun zeminlerin konsolidasyonunu ve stabilitesini değerlendirmede yönetir. Baraj tasarımı için yasa, dolgu malzemeleri boyunca su akışını nicelleştirerek, borulanma (piping) arızasını önlemek için freatik yüzeylerin ve çıkış gradyanlarının hesaplanmasını sağlar; Darcy’nin kum yatakları üzerindeki deneylerinden türetilen hidrolik iletkenlik değerleri, sızma oranlarını tahmin etmek ve temel stabilitesini sağlamak için kullanılır. Şev stabilitesi analizleri, geçici akış sırasında gözenek basıncı değişikliklerini değerlendirmek için Darcy hızını içerir; bu, yukarı doğru sızmanın efektif gerilmeyi azaltabileceği ve heyelanları tetikleyebileceği istinat yapılarının ve dolguların tasarımına yardımcı olur.^[45]^[46]

Biyomedikal mühendisliği, gözenekli biyolojik dokularda ve mühendislik iskelelerinde sıvı taşınımını modellemek için Darcy yasasını uyarlar ve besin iletimi ve atık uzaklaştırma için geçirgenlik hakkında bilgi sağlar. Doku iskelelerinde, kontrollü basınç gradyanları altında sıvı akış testleri yoluyla ölçülen Darcy geçirgenlik katsayıları, kan veya kültür ortamının matrisi ne kadar etkili bir şekilde perfüze ettiğini nicelleştirir; mikrogözenekli iskeleler için 10⁻¹⁴ m² ve belirli membran yapıları için 10⁻⁹ m²’ye kadar ölçülen değerler, hücreler üzerinde aşırı kayma gerilimi olmadan yeterli oksijen beslemesini sağlar. İlaç dağıtım sistemleri için yasa, tümör dokularındaki transvasküler ve interstisyel akışları tanımlar; burada düşük geçirgenlikli iskeleler kontrollü salınım oranları sağlayarak implante edilebilir cihazlar gibi uygulamalarda terapötik etkinliği artırır. Damarlanmış dokulardan kan akışı, bobin yoğunluklarının %20’nin üzerinde olduğu durumlarda etkili geçirgenliği azaltarak akışı durdurduğu anevrizma modellerinde basınç düşüşlerini tahmin etmek için Darcy denklemi kullanılarak tahmin edilir.^[47]^[48]

Kimya mühendisliğinde Darcy yasası, basınç düşüşünü gözenekli yapılardan geçen akış hızıyla ilişkilendirerek filtrasyon membranlarının ve dolgulu yatak reaktörlerinin tasarımını destekler. Membran filtrasyonu için yasa, geçirgenliğin gözenek boyutuna ve kirlenme katmanlarına bağlı olduğu çapraz akış sistemlerinde süzüntü akısını modeller ve laminer koşullar (Re < 1) altında proteinlerin ultrafiltrasyonu veya atık su arıtımı gibi ayırma işlemlerini optimize eder. Katalitik reaksiyonlar için kullanılan dolgulu yatak reaktörlerinde, Darcy rejimi parçacık yataklarından geçen düşük hızlı akışlar için geçerlidir ve kalış süresi ve reaksiyon hızlarının tahmin edilmesini sağlar; örneğin, immobilize enzim reaktörlerinde denklem, dönüşüm verimliliğini en üst düzeye çıkarırken basınç kayıplarını en aza indirmek için katalizör paketlemesine rehberlik eder.^[49]

Sınırlamalar ve Geçerlilik

Uygulanabilirlik Koşulları

Darcy yasası, atalet etkilerinin ihmal edilebilir olduğu gözenekli ortamlardaki laminer akış rejimleri için geçerlidir. Bu koşul, genellikle belirli gözenekli ortama ve tane veya gözenek yapısına bağlı olarak 1 ila 10’dan daha düşük bir Reynolds sayısı (Re) ile karakterize edilir. Reynolds sayısı, yüzeysel hız, sıvı yoğunluğu, gözenek veya tane çapı gibi karakteristik bir uzunluk ve dinamik viskozite kullanılarak hesaplanır ve viskoz kuvvetlerin atalet kuvvetlerine baskın olmasını sağlar. Kumlar ve zeminler gibi granüler ortamlarda yaygın olan 1 ila 1000 μm boyut aralığındaki gözenekler için akış, bu düşük Re değerlerinde laminer kalır ve basınç gradyanı ile akış hızı arasındaki doğrusal ilişkinin doğru bir şekilde tutulmasını sağlar.^[50]^[39]

Gözenekli ortamın kendisi, Darcy yasasının geçerli olması için belirli özellikler sergilemelidir. Homojen olmalı, yani geçirgenlik gibi hidrolik özellikler akış yolu boyunca minimum düzeyde değişmeli ve tüm boşluk alanları sıvı tarafından tamamen işgal edilmiş (doygun) olmalıdır. Ortamın rijit olduğu, geçirgenliği değiştirebilecek akış kaynaklı stresler altında deformasyonu önlediği varsayılır. Ek olarak, boşluklar sıvı taşınımı için sürekli bir ağ oluşturmak üzere birbirine bağlı olmalıdır. Bu özellikler, yasanın varsayımlarının ortamın mikroyapısıyla uyumlu olduğu akiferler veya filtre yatakları gibi konsolide granüler malzemelerin tipik özellikleridir.^[51]^[52]^[39]

Sıvı özellikleri uygulanabilirlik üzerinde başka kısıtlamalar getirir. Yasa, bağıl geçirgenlik etkilerine yol açabilecek çok fazlı etkileşimlerden kaçınarak tek fazlı bir sıvı varsayar. Sıvı, kayma hızından bağımsız sabit viskozite sergileyen Newtoniyen olmalı ve basınç gradyanları altında sabit yoğunluğu korumak için düşük sıkıştırılabilirliğe sahip olmalıdır. Sıcaklık, su için 20°C ile 100°C arasında %50’den fazla değişebilen ve doğrusal akış-basınç ilişkisini bozabilen viskozite değişimlerini en aza indirmek için 100°C’nin altında kalmalıdır. Bu koşullar, sulu veya hafif viskoz sıvılar içeren tipik yeraltı suyu veya düşük hızlı petrol rezervuar senaryolarında karşılanır.^[52]^[39]^[51]

Bu koşulların doğrulanması genellikle laboratuvar geçirgenlik ölçer testleri ile gerçekleştirilir; burada akış hızı değiştirildikçe bir numune boyunca basınç düşüşü ölçülür. Basınç düşüşüne karşı akış hızı grafiğindeki doğrusallık, Darcy yasasına uyumu teyit ederken, sapmalar yüksek Re veya heterojenlik gibi ihlalleri gösterir. Genellikle sabit yüklü veya düşen yüklü kurulumlar kullanan bu tür deneyler, geçirgenliği nicelleştirirken test edilen ortam ve sıvı için geçerli rejimi doğrular.^[19]^[53]

Sapmalar ve Modern İyileştirmeler

Darcy yasası laminer, viskoz hakimiyetindeki akışı varsayar ve Reynolds sayıları yüksek olduğunda (tipik olarak 1 ila 10’u aştığında) atalet kuvvetleri önemli hale geldiğinde sapar; bu da gözenek kanallarındaki türbülans benzeri etkiler nedeniyle doğrusal olmayan basınç gradyanlarına yol açar.^[54] Genellikle Forchheimer denklemi tarafından kısa bir uzantı olarak yakalanan bu atalet sapması, tam gelişmiş türbülanstan ziyade form sürüklemesinden ve yerel ivmelerden kaynaklanır.^[55] Heterojen ortamlarda kanallaşma (channeling), akışı tercihli yüksek geçirgenlik yollarına yönlendirerek sapmaları şiddetlendirir, bu da tekdüze Darcy tahminlerine kıyasla daha hızlı geçiş süreleri ve azaltılmış efektif dirençle sonuçlanır.^[56] Gözenek ölçeğinde bu tür kanalları belirleme kriterleri, kararsız akış bölümlenmesini teşvik eden yüksek koordinasyon sayıları ve düşük dolambaçlılık gibi topolojik özellikleri içerir.^[56]

İki fazlı akış, viskoz veya yerçekimi kuvvetleri tarafından yönlendirilen arayüz parmaklanması gibi ek kararsızlıklar getirir; bu da heterojen doygunluk dağılımları yaratır ve bağıl geçirgenliklerin kılcal sayı ile doğrusal olmayan bir şekilde değişmesine neden olarak standart çok fazlı Darcy uzantısından sapar.^[57] Faz girişimi, özellikle yakalama ve mobilizasyon etkilerinin baskın olduğu kararlı durum koşullarında efektif Darcy akı-basınç düşüşü ilişkisini değiştiren basınç dalgalanmalarını indükleyerek bunu daha da güçlendirir.^[57]

Modern iyileştirmeler, bu sapmaları daha ince ölçeklerde ele almak için hesaplamalı yöntemlerden yararlanır. Lattice Boltzmann yöntemleri, karmaşık geometrilerdeki gözenek seviyesindeki akışı simüle eder, laminer koşullar altında Darcy davranışını yeniden üretirken, hız profillerinin ve sınır tabakalarının doğrudan çözümü yoluyla Darcy dışı geçişleri ortaya çıkarır.^[58] Bu simülasyonlar, ampirik varsayımlar olmadan geçirgenlik ve atalet katsayılarını nicelleştirerek boşluklu veya çatlaklı ortamlarda doğrulamaya yardımcı olur.^[59] Mikro-CT taramalarından yükseltme, parçalı görüntüler üzerinde Stokes akışını çözerek ve hacim ortalaması uygulayarak yüksek çözünürlüklü gözenek yapılarını efektif ortam özelliklerine entegre eder ve alt çözünürlük heterojenliğini hesaba katan Darcy ölçeğindeki geçirgenlikleri sağlar.^[60]

2010 sonrası şeyl gazı patlaması, ortalama serbest yolların gözenek boyutlarıyla karşılaştırılabilir olduğu (Knudsen sayıları >0.01) nanogözeneklerdeki Knudsen ve Klinkenberg etkilerinin yenilenmiş analizini teşvik etti; bu durum kayma akışını ve difüzyonu indükleyerek, 10 nm’nin altındaki gözeneklere sahip şeyllerde görünür gaz geçirgenliğini sıvı eşdeğerlerine göre 2-10 kat artırır.^[61] Moleküler simülasyonlar, adsorpsiyon ve yüzey difüzyonunun organik nanogözeneklerdeki taşınımı daha da artırdığını, doğru üretim tahminleri için Knudsen difüzyon terimlerine sahip değiştirilmiş Darcy modellerini gerektirdiğini doğrulamaktadır.^[62]

Hesaplamalı hidrodinamikte devam eden araştırmalar, gözenek ölçeğindeki simülasyonlar üzerinde eğitilmiş evrişimli sinir ağlarını kullanarak gözenekli ortamların dijital görüntülerinden doğrudan geçirgenliği tahmin etmek için makine öğrenimini kullanır; bu, maliyetli akış çözümlerini atlarken %20’nin altındaki hatalarla kaya türleri arasında genelleme yapar.^[63] Bu yaklaşım, gözeneklilik dağılımlarının daha yüksek dereceli momentleri gibi istatistiksel özellikleri dahil ederek geleneksel yükseltmedeki boşlukları giderir ve heterojen rezervuarlar için hızlı çıkarım sağlar.^[64]